조르당 곡선 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 조르당 곡선 정리
3. 역사
4. 일반화
- 4.1. 조르당-브라우어르 정리 (고차원)
- 4.2. 조르당-쇤플리스 정리
5. 이산 버전
- 5.1. 스타인하우스 체스판 정리
6. 응용
- 6.1. 계산 기하학
- 6.2. 전산학 (한국)
참조

1. 개요

조르당 곡선 정리는 평면상의 단순 닫힌 곡선이 평면을 내부와 외부의 두 영역으로 나눈다는 정리이다. 이 정리는 위상수학의 기본 정리로, 직관적으로는 자명해 보이지만 엄밀한 증명은 어렵다. 조르당 곡선 정리는 조르당-브라우어 정리로 일반화되며, 고차원 공간에서도 유사한 정리가 성립한다. 또한 조르당-쇤플리스 정리를 통해 조르당 곡선에 의해 결정된 내부 영역이 원판과 위상 동형임을 알 수 있다. 이산 버전의 조르당 곡선 정리는 헥스 게임과 관련 있으며, 계산 기하학에서 점이 다각형 내부에 있는지 여부를 판단하는 데 활용된다.

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조르당 곡선 정리
개요
정의	평면을 두 영역으로 나누는 닫힌 곡선
관련 분야	수학, 위상수학
역사
최초 제시	카미유 조르당(1887)
최초 증명	오스왈드 베블런(1905)
내용
설명	평면 위의 조르당 곡선(자기 교차 없는 연속적인 닫힌 곡선)은 평면을 내부와 외부의 두 영역으로 분리한다.
내부	곡선으로 둘러싸인 유계 영역
외부	곡선 외부의 비유계 영역
중요성	직관적으로 자명해 보이지만, 엄밀한 증명은 복잡하다.
추가 정보
응용 분야	복소해석학, 컴퓨터 그래픽스
일반화	일반화된 조르당 곡선 정리 (더 높은 차원)

2. 정의

평면 $\mathbb{R}^2$ 에서 '''조르당 곡선''' 또는 '''단순 닫힌 곡선'''은 평면으로의 단사 연속 함수 $\varphi \colon S^1 \to \mathbb{R}^2$ 의 상 $C$ 이다. 또는, 조르당 곡선은 $\varphi(0) = \varphi(1)$ 이고 $\varphi$ 를 $[0,1)$ 로 제한했을 때 단사인 연속 함수 $\varphi \colon [0,1] \to \mathbb{R}^2$ 의 상이다.

2. 1. 조르당 곡선 정리

위상 공간에서 '''단순 닫힌 곡선'''은 연속 단사 함수

\mathbb S^1\to X

의 상이다.

C\subset\mathbb R^2

가 단순 닫힌 곡선이라고 할 때, '''조르당 곡선 정리'''에 따르면 다음이 성립한다.

$\mathbb R^2\setminus C$ 는 두 개의 연결 성분 $A_1, A_2 \subset \mathbb R^2$ 을 갖는다.
두 연결 성분 가운데 하나는 유계 집합이며, 다른 하나는 유계 집합이 아니다. 유계 집합인 것을 $A_1$ , 유계 집합이 아닌 것을 $A_2$ 라고 한다.
두 연결 성분의 ( $\mathbb R^2$ 에서의) 경계는 $C$ 이다. 즉, $\partial A_1=\partial A_2=C$ 이다.

또한, '''조르당-쇤플리스 정리'''(Jordan–Schoenflies theorem^영어)에 따르면 다음이 성립한다.

$A_1$ 은 열린 원판 $\mathbb B^2$ 과 위상 동형이며, $A_2$ 는 닫힌 원판의 여집합 $\mathbb R^2\setminus\bar{\mathbb B^2}$ 과 위상 동형이다.

평면

\mathbb{R}^2

에서 ''조르당 곡선'' 또는 ''단순 닫힌 곡선''은 평면으로의 단사 연속 함수

\varphi: S^1 \to \mathbb{R}^2

의 상

C

이다. 평면에서 '''조르당 호'''는 닫힌 유계 구간

[a, b]

에서 평면으로의 단사 연속 함수의 상이다. 이는 반드시 매끄러운 것도 아니고 대수 곡선도 아닌 평면 곡선이다.

조르당 곡선은

\varphi(0) = \varphi(1)

이고

\varphi

를

[0,1)

로 제한했을 때 단사인 연속 함수

\varphi: [0,1] \to \mathbb{R}^2

의 상으로 정의할 수도 있다. 처음 두 조건은

C

가 연속 루프임을 의미하고, 마지막 조건은

C

가 자기 교차점이 없음을 규정한다.

이러한 정의를 사용하여 조르당 곡선 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

평면

\mathbb{R}^2

에서 조르당 곡선

C

가 주어지면, 그 여집합

\mathbb{R}^2 \setminus C

는 정확히 두 개의 연결 성분으로 구성된다. 이 성분 중 하나는 유계 ('''내부''')이고 다른 하나는 무계 ('''외부''')이며, 곡선

C

는 각 성분의 경계이다.

반대로, 평면에서 조르당 ''호''의 여집합은 연결되어 있다.

c

를 평면

\mathbb R^2

위의 단순 폐곡선(조르당 곡선)이라고 할 때,

c

의 상의 여집합은 두 개의 서로소인 공집합이 아닌 연결 성분으로 이루어져 있으며, 한 성분은 내부라고 불리는 유계 영역이고, 다른 성분은 외부라고 불리는 비유계 영역이다. 또한,

c

는 두 성분의 경계를 이룬다.

3. 역사

베르나르트 볼차노는 이 정리가 자명한 명제가 아니라 증명이 필요하다는 점을 관찰하면서, 정확한 추론을 처음으로 공식화했다.^[9] 조르당 곡선 정리의 내용은 직관적으로는 명백해 보이지만, 실제로 증명하는 것은 매우 어려운 일이었다.

1887년 카미유 조르당이 교과서 《에콜 폴리테크니크 해석학 교재》(Cours d’analyse de l’École Polytechnique^프랑스어) 3권에 처음으로 증명을 수록하였으나,^[18] 완전하지 못하다는 지적이 있었다. 오즈월드 베블런은 조르당의 증명이 완전하지 못하다고 지적하면서 다음과 같이 말했다.

: His proof, however, is unsatisfactory to many mathematicians. It assumes the theorem without proof in the important special case of a simple polygon, and of the argument from that point on, one must admit at least that all details are not given.^[19]

1905년 오즈월드 베블런이 완전히 엄밀한 증명을 발표하였다. 그러나 토머스 캘리스터 헤일스는 조르당이 빠뜨렸다고 하는 다각형에 대한 증명은 간단한 것이므로 전체 증명을 부정할 만한 오류가 아니라고 주장했다.

: Nearly every modern citation that I have found agrees that the first correct proof is due to Veblen... In view of the heavy criticism of Jordan’s proof, I was surprised when I sat down to read his proof to find nothing objectionable about it. Since then, I have contacted a number of the authors who have criticized Jordan, and each case the author has admitted to having no direct knowledge of an error in Jordan’s proof.^[20]

2005년에는 증명 검증 시스템 Mizar에 의한 엄밀한 검증이 이루어졌다.

4. 일반화

조르당 곡선 정리는 고차원에서 다음과 같이 일반화된다.

'''조르당-브라우어르 정리''' (Jordan–Brouwer theorem^영어): 초구에서 유클리드 공간으로 가는 연속 단사 함수에 대한 정리이다.
'''조르당-쇤플리스 정리''': 평면에서 조르당 곡선에 의해 결정된 내부 및 외부 영역이 단위 원판의 내부 및 외부와 위상 동형임을 나타내는 정리이다. 고차원에서는 성립하지 않는다.

이 두 정리는 호몰로지 이론을 사용하여 증명할 수 있으며, 알렉산더 쌍대성과 같은 개념을 통해 더 일반화할 수 있다.

4. 1. 조르당-브라우어르 정리 (고차원)

Jordan–Brouwer theorem^영어라고도 불리는 조르당-브라우어르 정리는 다음과 같다.

n차원 초구에서 같은 차원의 유클리드 공간

\mathbb R^n

으로 가는 연속 단사 함수

:

f\colon\mathbb S^n\to\mathbb R^n

가 주어졌을 때,

$\mathbb R^n\setminus f(\mathbb S^n)$ 은 두 개의 연결 성분을 갖는다.
두 연결 성분 중 하나는 유계 집합이며, 다른 하나는 아니다.
두 연결 성분의 ( $\mathbb R^n$ 에서의) 경계는 $C$ 이다.

하지만 고차원에서는 조르당-쇤플리스 정리가 성립하지 않으며, 알렉산더의 뿔 달린 구와 같은 반례가 존재한다. 이 경우, 알렉산더의 뿔 달린 구의 내부는 3차원 공과 위상 동형이지만, 외부는 3차원 공의 여집합과 위상 동형이 아니다.

조르당 곡선 정리는 1911년 앙리 르베그와 L. E. J. 브라우어르에 의해 더 높은 차원으로 독립적으로 일반화되어, 조르당-브라우어 분리 정리가 되었다.

X가 (n+1)차원 유클리드 공간 '''R'''ⁿ⁺¹ (n>0)에 있는 n차원 위상적 구라고 하자. 즉, n-구 Sⁿ를 '''R'''ⁿ⁺¹로의 단사 연속 사상의 이미지이다. 그러면 '''R'''ⁿ⁺¹에서 X의 여집합 Y는 정확히 두 개의 연결된 성분으로 구성된다. 이 구성 요소 중 하나는 유계(내부)이고 다른 하나는 무계(외부)이다. 집합 X는 그들의 공통 경계이다.

이는 마이어-비토리스 수열을 사용하여 k에 대한 귀납법으로 증명된다. n = k일 때, Y의 0차 환원 호몰로지는 랭크 1을 가지며, 이는 Y가 2개의 연결 성분(게다가 경로 연결됨)을 가지고 있음을 의미하며, 약간의 추가 작업을 통해 그들의 공통 경계가 X임을 보여준다. J. W. 알렉산더에 의해 추가 일반화가 발견되었으며, 이는 '''R'''ⁿ⁺¹의 콤팩트 부분 집합 X의 환원 호몰로지와 그 여집합의 환원 코호몰로지 사이의 알렉산더 쌍대성을 확립했다. X가 경계가 없는 '''R'''ⁿ⁺¹ (또는 '''S'''ⁿ⁺¹)의 n차원 콤팩트 연결 부분 다양체인 경우, 그 여집합은 2개의 연결 성분을 가진다.

4. 2. 조르당-쇤플리스 정리

위상 동형으로 확장 가능하다는 정리이다. 조르당 곡선 정리보다 훨씬 강력한 내용이다. 고차원에서는 성립하지 않으며, 알렉산더의 뿔 달린 구와 같은 반례가 존재한다.

조르당-쇤플리스 정리는 다음과 같다.

$A_1$ 은 열린 원판 $\mathbb B^2$ 과 위상 동형이며, $A_2$ 는 닫힌 원판의 여집합 $\mathbb R^2\setminus\bar{\mathbb B}^2$ 과 위상 동형이다.

조르당-쇤플리스 정리의 대안적이고 동등한 공식은 ''S''¹이 평면의 단위 원으로 간주되는 경우, 임의의 조르당 곡선 ''φ'': ''S''¹ → '''R'''²는 평면의 위상 동형 ''ψ'': '''R'''² → '''R'''²로 확장될 수 있다는 것이다.

알렉산더 뿔 달린 구는 '''R'''³의 부분 집합으로 구와 위상 동형이지만, 공간에서 너무 꼬여 있어서 '''R'''³에서 그 여집합의 무계 성분이 단순 연결되지 않고, 따라서 단위 공의 외부와 위상 동형이 아니다.

5. 이산 버전

조르당 곡선 정리는 이산 수학에서의 강력한 헥스 정리와 동치이다.^[3] 강력한 헥스 정리는 "모든 헥스 게임은 정확히 한 명의 승자로 끝나며, 양쪽 모두 지거나 양쪽 모두 이길 가능성은 없다"는 내용을 담고 있다.

영상 처리에서 이진 영상은 0과 1의 이산 사각형 격자로 표현된다. 연결성을 분석할 때 6-이웃 사각형 격자가 일반적으로 사용된다.^[6] 6-이웃 사각형 격자는 각 정점 $(x, y)$ 가 $(x+1, y), (x-1, y), (x, y+1), (x, y-1)$ 및 $(x+1, y+1), (x-1, y-1)$ 과 연결되는 구조이다. 이는 헥스 게임의 격자와 동일하며, 강력한 헥스 정리를 만족시켜 조르당 곡선 정리가 이산적인 형태로 일반화될 수 있게 한다.

5. 1. 스타인하우스 체스판 정리

스타인하우스 체스판 정리는 4-이웃 격자와 8-이웃 격자가 "함께" 조르당 곡선 정리를 함축한다는 것을 보여주는 정리이다.^[7]^[8]

이 정리에 따르면, n x n 체스판의 일부 칸에 폭탄을 설치하여 킹(체스)이 폭탄을 밟지 않고는 체스판의 아래쪽에서 위쪽으로 이동할 수 없도록 하면, 룩(체스)은 오직 폭탄만을 밟으면서 체스판의 왼쪽에서 오른쪽으로 이동할 수 있다.

6. 응용

영상 처리에서 이진 영상은 0과 1의 이산 사각형 격자 또는 $\Z^2$ 의 조밀한 부분 집합으로 표현된다. 이때, $\R^2$ 에서의 위상 불변량(예: 구성 요소의 수)을 $\Z^2$ 에서 제대로 정의하려면, $\Z^2$ 에 적절한 그래프 구조를 부여해야 한다.

$\Z^2$ 에는 4-이웃 사각형 격자와 8-이웃 사각형 격자, 두 가지의 그래프 구조를 생각해볼 수 있다. 4-이웃 사각형 격자는 각 점이 상하좌우의 4개 점과 연결되는 구조이고, 8-이웃 사각형 격자는 각 점이 주변 8개의 점과 연결되는 구조이다. 그러나 이 두 구조는 모두 특정 조건을 만족하지 못해 조르당 곡선 정리를 그대로 적용할 수 없다.

$\Z^2$ 에 6-이웃 사각형 격자 구조를 적용하면, 이는 육각형 격자가 되고, 이 경우에는 조르당 곡선 정리를 적용할 수 있게 된다. 이러한 이유로 이진 영상에서 연결된 구성 요소를 계산할 때 6-이웃 사각형 격자가 널리 쓰인다.^[6]

단순 다각형(영역 ) 외부에 반직선 (빨간색)의 시작점 ()이 있으면, 반직선과 다각형의 교차점 수는 짝수이다.
반직선의 시작점 ()이 다각형(영역 ) 내부에 있으면, 교차점 수는 홀수이다.

6. 1. 계산 기하학

계산 기하학에서 조르당 곡선 정리는 점이 단순 다각형의 내부에 있는지 외부에 있는지 테스트하는 데 사용될 수 있다.^[14]^[15]^[16]

주어진 점에서 다각형의 어떤 꼭짓점도 통과하지 않는 반직선을 추적한다(유한한 개수를 제외한 모든 반직선이 편리하다). 그런 다음, 반직선과 다각형 변의 교차점 수를 계산한다. 조르당 곡선 정리의 증명은 이 교차점 수가 홀수인 경우에만 점이 다각형 내부에 있다는 것을 의미한다.

6. 2. 전산학 (한국)

한국의 전산학 분야, 특히 영상 처리 및 컴퓨터 그래픽스에서 조르당 곡선 정리가 활발하게 응용되고 있다. 예를 들어, 이미지 내 객체의 경계를 판별하거나, 2차원 그래픽 객체의 내부/외부를 구분하는 데 사용된다. 이진 영상은 0과 1의 이산 사각형 격자 또는

\Z^2

의 조밀한 부분 집합으로 표현되는데, 이때

\Z^2

에 적절한 그래프 구조를 정의해야 연결성 등의 위상 불변량을 제대로 정의할 수 있다.

\Z^2

에는 4-이웃 사각형 격자와 8-이웃 사각형 격자 두 가지 그래프 구조를 적용할 수 있다.

4-이웃 사각형 격자: 각 정점 $(x, y)$ 는 $(x+1, y), (x-1, y), (x, y+1), (x, y-1)$ 과 연결된다.
8-이웃 사각형 격자: 각 정점 $(x, y)$ 는 $|x-x'| \leq 1, |y-y'| \leq 1$ 이고 $(x, y) \neq (x', y')$ 인 모든 $(x', y')$ 와 연결된다.

그러나 이 두 가지 그래프 구조는 모두 강한 육각형 정리를 만족하지 않아 조르당 곡선 정리가 일반화되지 않는다. 4-이웃 격자는 승자가 없는 상황을, 8-이웃 격자는 두 명의 승자 상황을 허용하기 때문이다.

6-이웃 사각형 격자 구조를

\Z^2

에 적용하면 육각형 격자가 되어 강한 육각형 정리를 만족하고, 조르당 곡선 정리가 일반화될 수 있다. 따라서 이진 영상에서 연결된 구성 요소를 계산할 때 일반적으로 6-이웃 사각형 격자가 사용된다.^[6]

참조

_[1] 논문 What is the Jordan curve theorem?
_[2] 논문 Jordan's proof of the Jordan curve theorem https://www.maths.ed[...] University of Białystok
_[3] 논문 The Game of Hex and the Brouwer Fixed-Point Theorem 1979-12
_[4] 서적 22nd Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science (LICS 2007) IEEE 2007
_[5] 논문 The Jordan Curve Theorem, Formally and Informally 2007-12
_[6] 웹사이트 First Principles of Computer Vision: Segmenting Binary Images {{!}} Binary Images https://www.youtube.[...] 2021-03-01
_[7] 논문 A digital analogue of the Jordan curve theorem 2004-04
_[8] 논문 A discrete form of Jordan curve theorem https://rebus.us.edu[...]
_[9] 논문 Prelude to dimension theory: the geometrical investigations of Bernard Bolzano
_[10] 문서
_[11] 문서
_[12] 문서
_[13] 논문 Bemerkungen zu den Beweisen von C. Jordan und Ch. J. de la Vallée Poussin
_[14] 문서
_[15] 서적 1. Jordan curve theorem https://www.maths.ed[...] University of Edinburgh 1978
_[16] 웹사이트 PNPOLY - Point Inclusion in Polygon Test - WR Franklin (WRF) https://wrf.ecse.rpi[...] 2021-07-18
_[17] 논문 The Complexity of Hex and the Jordan Curve Theorem http://drops.dagstuh[...] Schloss Dagstuhl–Leibniz-Zentrum fuer Informatik 2016
_[18] 서적 Cours d’analyse de l’Ecole polytechnique. Tome troisième: Calcul intégral, équations différentielles Gauthiers-Villars 1887
_[19] 저널 Theory on plane curves in non-metrical analysis situs
_[20] 인용 Jordan's proof of the Jordan Curve theorem http://mizar.org/try[...]

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